Permutationen mit Zurücklegen Rechner
Permutationen mit Zurücklegen Rechner
Berechnen Sie mit diesem Rechner geordnete Sequenzen und Anordnungen, bei denen Elemente mehrfach vorkommen dürfen (Permutationen mit Wiederholung / Zurücklegen). Im Gegensatz zu Permutationen ohne Wiederholung bleibt die Grundgesamtheit nach jedem Auswahlschritt vollständig erhalten ($n^k$), oder identische Gruppen werden über Multinomialkoeffizienten zusammengefasst.
Zwei Bedeutungen von Permutationen mit Wiederholung
In der mathematischen Praxis ist es wichtig, die Aufgabenstellung genau zu unterscheiden:
- Geordnete Sequenzauswahl mit Zurücklegen ($n^r$): Aus $n$ verfügbaren Elementen werden nacheinander $r$ Stellen besetzt. An jeder Stelle steht die volle Auswahl von $n$ Möglichkeiten zur Verfügung (z. B. $4$-stellige PIN-Codes aus $10$ Ziffern: $10^4 = 10.000$, Würfelfolgen oder DNA-Sequenzen). Dies ist die vom Rechner implementierte Funktion.
- Permutationen mit identischen Elementen (Multimengen-Permutation): Werden $n$ Objekte angeordnet, von denen $k_1, k_2, \dots$ jeweils ununterscheidbar sind (z. B. Anagramme von Wörtern mit doppelten Buchstaben wie „ANANAS“), lautet die Formel mithilfe der Fakultät:
&frac{n!}{k_1! \times k_2! \times \dots \times k_m!}
Die Formel für geordnete Sequenzen ($n^r$)
Diese mathematische Regel gilt, solange n ≥ 0 und r ≥ 0 ist. Da Sie „r“ Elemente aus einer Menge der Größe „n“ auswählen, kann jedes Element auf „n“ verschiedene Arten ausgewählt werden. Daher wird die gesamte Folge (oft auch als String bezeichnet) berechnet, indem n für jede einzelne Stelle in der Folge mit sich selbst multipliziert wird (n x n x n ... = nr).
Problem 1 bei Permutationen mit Zurücklegen: Buchstaben aus einem Alphabet auswählen
Sehen wir uns ein praktisches Beispiel für die Auswahl von Buchstaben zur Bildung einer Folge an.
Wenn wir einen 2-stelligen Code aus einem sehr kleinen Alphabet von nur 3 Buchstaben {A, B, C} erstellen möchten, wird die Anzahl der Permutationen (bei denen die Reihenfolge eine Rolle spielt und Zurücklegen erlaubt ist) mithilfe unserer Formel berechnet:
Diese 9 spezifischen Kombinationen lauten: {A,A}, {A,B}, {A,C}, {B,A}, {B,B}, {B,C}, {C,A}, {C,B} und {C,C}.
Wenn wir dieses Problem erweitern und eine Folge von 10 Buchstaben aus demselben Alphabet mit 3 Buchstaben {A, B, C} auswählen möchten, bleibt die Rechnung dieselbe:
Problem 2 bei Permutationen mit Zurücklegen: Würfelfolge
Nehmen wir an, Sie möchten einen 8-seitigen Würfel genau 10 Mal werfen und Ihre Folge von 10 Ergebnissen in der genauen Reihenfolge aufzeichnen. Für dieses Problem wählen Sie eine Folge von 10 Würfen aus einer Gesamtmenge von 8 möglichen Augenzahlen {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Wenn Sie Ihre Folge von Elementen erstellen, hat jeder einzelne Wurf genau 8 Möglichkeiten. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten beträgt 8 für den 1. Wurf, mal 8 für den 2. Wurf, mal 8 für den 3. Wurf... bis hin zum 10. Wurf.
Zuletzt aktualisiert: 12. April 2026
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was ist eine Permutation mit Zurücklegen (mit Wiederholung)?
Bei einer Permutation mit Zurücklegen spielt die Reihenfolge der Elemente eine Rolle und gezogene Elemente werden wieder zurückgelegt bzw. dürfen mehrfach vorkommen. Für k Ziehungen aus n Elementen gibt es n^k verschiedene Möglichkeiten.
Wie berechnet man Anordnungen bei mehrfach vorkommenden identischen Elementen?
Wenn unter n Elementen bestimmte Elemente mehrfach identisch vorkommen (z. B. k1, k2, ... gleiche Buchstaben in einem Wort wie MISSISSIPPI), lautet die Formel für die unterscheidbaren Permutationen n! / (k1! · k2! · ... · km!).
Worin unterscheidet sich die Permutation mit Wiederholung von der Kombination mit Wiederholung?
Bei der Permutation mit Wiederholung (n^k) ist die Reihenfolge der Ergebnisse entscheidend (z. B. PIN-Code 1-2 vs. 2-1). Bei der Kombination mit Zurücklegen kommt es nur auf die Häufigkeit der gezogenen Sorten an, nicht auf deren Reihenfolge.
Welche typischen Alltagsbeispiele gibt es für n^k?
Klassische Beispiele sind vierstellige Zahlenschlösser und PINs mit 10^4 = 10.000 Möglichkeiten, mehrfaches Würfeln eines 6-seitigen Würfels (6^k) oder das mehrfache Werfen einer Münze (2^k).