Quadratrechner (x²) – Quadratzahlen online berechnen
Quadratrechner (x²)
Das Quadrat einer Zahl: Grundlagen und Rechenregeln
Das Quadrieren einer Zahl bedeutet in der Arithmetik, eine Zahl genau einmal mit sich selbst zu multiplizieren. Die mathematische Kurzschreibweise verwendet die Hochzahl 2 (den Exponenten 2):
x2 = x × x
Beispiele:
42 = 4 × 4 = 1672 = 7 × 7 = 49122 = 12 × 12 = 1440,52 = 0,5 × 0,5 = 0,25
Wichtige Vorzeichenregeln bei negativen Zahlen
Beim Quadrieren negativer Werte ist die korrekte Klammersetzung entscheidend für das mathematische Ergebnis:
- Mit Klammern:
(−x)2— Hier wird die gesamte negative Zahl quadriert. Nach der Vorzeichenregel „Minus mal Minus ergibt Plus“ ist das Ergebnis stets positiv:(−6)2 = (−6) × (−6) = +36. - Ohne Klammern:
−x2— Nach den mathematischen Vorrangregeln (Potenzrechnung vor Vorzeichen/Strichrechnung) bezieht sich das Quadrat nur auf das x. Das Minuszeichen bleibt unverändert vor dem Ergebnis stehen:−62 = −(6 × 6) = −36.
Geometrische Bedeutung: Flächeninhalt und Satz des Pythagoras
Der Begriff „Quadrat“ stammt direkt aus der Geometrie:
- Flächeninhalt eines Quadrats: Ein Quadrat mit der Seitenlänge a besitzt den Flächeninhalt
A = a2. - Satz des Pythagoras: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat:
a2 + b2 = c2.
Tabelle der ersten 20 Quadratzahlen (perfekte Quadrate)
Eine Quadratzahl entsteht durch das Quadrieren einer ganzen Zahl. Die ersten 20 Quadratzahlen im Überblick:
| Basis (x) | x² | Basis (x) | x² | Basis (x) | x² | Basis (x) | x² |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 36 | 11 | 121 | 16 | 256 |
| 2 | 4 | 7 | 49 | 12 | 144 | 17 | 289 |
| 3 | 9 | 8 | 64 | 13 | 169 | 18 | 324 |
| 4 | 16 | 9 | 81 | 14 | 196 | 19 | 361 |
| 5 | 25 | 10 | 100 | 15 | 225 | 20 | 400 |
Verwandte Potenz- und Wurzelrechner
Passende Werkzeuge für weitere mathematische Berechnungen:
- Zur Umkehroperation (Wurzelziehen) nutzen Sie den Quadratwurzel-Rechner.
- Für die dritte Potenz steht der Kubik-Rechner (x³) zur Verfügung.
- Für allgemeine Potenzen mit beliebigen Exponenten nutzen Sie den Exponenten-Rechner.
- Für algebraische Binomzerlegungen empfiehlt sich die Differenz von Quadraten.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet das Quadrieren einer Zahl (x²)?
Das Quadrieren einer Zahl bedeutet, diese Zahl mit sich selbst zu multiplizieren: x² = x · x. Beispielsweise ist das Quadrat von 5: 5² = 5 · 5 = 25. Geometrisch entspricht x² dem Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge x.
Was ist der Unterschied zwischen (-3)² und -3²?
Bei (-3)² bezieht sich das Quadrat auf die gesamte geklammerte negative Zahl: (-3) · (-3) = +9. Bei -3² bindet der Exponent nach den Vorrangregeln (Punkt- vor Strichrechnung) nur an die 3, sodass das Minuszeichen vorangestellt bleibt: -(3 · 3) = -9.
Was sind Quadratzahlen (perfekte Quadrate)?
Eine Quadratzahl ist das Quadrat einer ganzen Zahl. Die ersten Quadratzahlen lauten: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.
Kann das Quadrat einer reellen Zahl negativ sein?
Nein. Das Produkt zweier gleicher reeller Zahlen ist immer größer oder gleich null (Plus mal Plus ergibt Plus, Minus mal Minus ergibt Plus). Negative Quadrate treten nur im Bereich der komplexen Zahlen auf (z. B. i² = -1).